Cahier de texte de mathématiques

vendredi 9 septembre 2016, par Pierrick Soleillant

Un peu de formalisme mathématique

Utilisation des quantificateurs ; rapide aperçu de la notion d’implication...

Premiers éléments d’étude d’une fonction

AVANT-PROPOS

Manipulations d’inégalités

1 - Autour de la représentation d’une fonction

Symbolisme et représentation graphique

2 - Contexte de travail

On travaille avec des fonctions définies sur des intervalles non triviaux de IR.
On admet la notion de limite comme intuitive.
Quelques rappels autour de la continuité sont formulés...

3 - Bijectivité

Définition d’une fonction établissant une bijection d’un ensemble dans un autre ; définition de la réciproque d’une telle bijection.
En pratique : théorème de la bijection...

4 - Dérivation

Brefs rappels sur la notion de dérivabilité et de dérivée...
Dérivabilité et dérivation de la réciproque d’une fonction vérifiant les hypothèses du théorème de la bijection : illustration dans le cas de la fonction racine carrée.

5 - Branches infinies
Exemples d’études d’asymptotes verticales, horizontales et obliques...

6 - Au-delà de la seule étude des fonctions...
... l’étude d’une fonction peut servir à établir une inégalité

ANNEXE

Etude des fonctions usuelles rencontrées au lycée : puissances entières, racine carrée, logarithme népérien, exponentielle, fonctions circulaires

Terminé le 9 septembre 2016

Exercices

BONUS

Étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions circulaires

Manipulations de sommes et de produits

1 - Notations $\sum$ et $\prod$

Notation et réécritures (glissement d’indice, notamment).
Factorielle.

2 - Sommes et produits à connaître

Sommes et produits télescopiques

3 - Manipulations plus ou moins ordinaires de sommes et de produits

Utilisation de propriétés usuelles des opérations (associativité, commutativité, distributivité du produit par rapport à la somme) pour manipuler des sommes et des produits ; cas des sommes doubles...

4 - Coefficients binomiaux et binôme de Newton

Rappel de la définition d’un coefficient binomial ; énoncé (admis) de son explicitation à l’aide de factorielles ; propriétés (symétrie des coefficients binomiaux, formule de Pascal...).

Énoncé de la formule du binôme de Newton et exemples d’utilisations.

Terminé le 16 septembre 2016

Exercices

Nombres complexes

1 - Les nombres complexes

Rappels sur la notion de nombre complexe ; propriétés des opérations sur l’ensemble des nombres complexes ; conjugué d’un nombre complexe.

2 - Interprétation géométrique

Image d’un nombre complexe dans le plan ; affixe d’un point, d’un vecteur.

Module d’un nombre complexe ; propriétés (dont l’inégalité triangulaire)...

Nombres complexes de module 1 ; notation exponentielle ; formules d’Euler, de Moivre...

Argument d’un nombre complexe non nul

Écriture complexe de certaines transformations géométriques.

3 - Application des nombres complexes à la trigonométrie

Technique de la factorisation par l’exponentielle de l’angle moitié

Linéarisation et "dé"-linéarisation

Calculs de sommes de sinus/cosinus en progression arithmétique

4 - Racines n-ièmes d’un complexe

Préambule à propos de la racine n-ième d’un réel positif.

Racine(s) n-ième(s) d’un nombre complexe : définition et description explicite pour un complexe écrit sous forme exponentielle.

Cas particulier des racines n-ièmes de l’unité

Calcul des racines carrées d’un complexe écrit sous forme algébrique ; application à la résolution d’équations du second degré à coefficients complexes.

Terminé le 28 septembre 2016

Exercices

Nouvelles fonctions usuelles

1 - Puissances réelles

Définition de $x^m$, où $m$ est un réel et $x$ est un réel strictement positif.

Propriétés algébriques

Étude et représentation graphique

2 - Fonctions circulaires réciproques

Définition des fonctions arc-cosinus, arc-sinus et arc-tangente ; études et principales propriétés.

3 - Fonctions hyperboliques

Définition des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ; études et principales propriétés.

4 - Fonctions racines n-ièmes

Terminé le 5 octobre 2016

Exercices

Calcul de primitives

1 - Primitive(s) d’une fonction

Notion de primitive d’une fonction sur un intervalle ; deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante ; structure de l’ensemble des primitives d’une fonction.

Primitives "usuelles"

Quelques exemples de détermination pratique de primitives

2 - Lien entre intégrale et primitives d’une fonction continue

Brefs rappels concernant l’intégrale d’une fonction continue sur un segment

Existence de primitives pour les fonctions continues : théorème fondamental du calcul intégral.

3 - Quelques techniques de calcul intégral

Notion de fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle

Intégration par parties

Changement de variable

Terminé le 7 octobre 2016

Exercices

Équations différentielles linéaires

1 - Équations différentielles linéaires du premier ordre

Définition d’une équation différentielle linéaire du premier ordre, d’une équation homogène.

Structure de l’ensemble des solutions : la solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de cette équation.

  • Résolution de l’équation homogène
  • Détermination d’une solution particulière : principe de superposition, méthode de variation de la constante

Problème de Cauchy : existence et unicité de la solution

2 - Équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants

Adaptation des définitions précédentes à ce nouveau contexte.

La structure de l’ensemble des solution se présente de façon analogue : la solution générale d’une équation différentielle linéaire du deuxième ordre est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de cette équation.

(a) Solutions à valeurs complexes

  • Résolution de l’équation homogène (à l’aide de l’équation caractéristique)
  • Détermination d’une solution particulière dans le cas d’un second membre "exponentiel"

(b) Solutions à valeurs réelles

  • Résolution de l’équation homogène : on adapte ce qui a été vu dans le cas complexe, en creusant le cas où l’équation caractéristique admet deux solutions complexes non réelles...
  • Détermination d’une solution particulière dans le cas d’un second membre "exponentiel" ou circulaire

BONUS
Application à l'étude d'un système mécanique oscillant
Application à l'étude de différents circuits électriques

Terminé le 4 novembre 2016

Exercices

Ensembles et applications

1 - Ensembles

Appartenance ; inclusion ; ensemble $\mathscr P(E)$ des parties d’un ensemble $E$ ; union, intersection, complémentaire, différence ; produit cartésien de deux (ou $n$) ensembles.

2 - Applications

Application d’un ensemble dans un autre, ensemble d’arrivée, de départ, image d’un élément, antécédent(s) d’un élément, ensemble image d’une application, exemples de l’application identité et de l’indicatrice d’une partie ; restriction, prolongement(s) d’une application ; composition d’applications ; "associativité" de la composition.

Application injective, surjective, bijective ; composée d’injections (resp. surjections, resp. bijections) ; réciproque $f^{-1}$ d’une bijection $f : E \longrightarrow F$ (c’est une bijection !) ; relations $f \circ f^{-1}=\id_F$ et $f^{-1} \circ f=\id_E$ et "réciproque" de ce résultat (s’il existe une application $g : F \longrightarrow E$ vérifiant $f \circ g=\id_F$ et $g \circ f=\id_E$, $f$ est une bijection, dont la réciproque est $g$) ; réciproque d’une composée de bijections.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application ; exemples, notamment dans le cas d’une fonction $f : [a,b] \longrightarrow \R$ monotone et éventuellement continue.

Terminé le 9 novembre 2016

Exercices

Arithmétique des entiers

Première partie - avec les entiers naturels

Divisibilité et division euclidienne

Nombres premiers

Diviseurs communs (PGCD de deux entiers, calcul par les valuations $p$-adiques, par l’algorithme d’Euclide, relation de Bézout), multiples communs (... et PPCM...), nombres premiers entre eux (théorème de Bézout, lemme de Gauss)

Seconde partie - avec les entiers relatifs

Généralisation des notions vues précédemment au cas des entiers relatifs

Congruence modulo un entier...

Terminé le 22 novembre 2016

Exercices

Les nombres réels en analyse

1 - Quelques rappels

L’ensemble des nombres réels est un ensemble totalement ordonné muni, notamment, de deux opérations (l’addition et la multiplication) qui vérifient des propriétés "usuelles" et une mesure de distance définie par la valeur absolue.

2 - Majoration, minoration et bornes...

Partie majorée/minorée/bornée de IR ; plus grand/petit élément éventuel d’une telle partie ; borne supérieure/inférieure éventuelle d’une telle partie.

Propriété de la borne supérieure/de la borne inférieure.

L’importance de cette propriété est développée en annexe (notamment au travers de la caractérisation des convexe des IR)...

3 - Partie entière

Partie entière d’un réel $x$, définie comme le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel, ce qui revient à le désigner comme l’unique entier $n$ vérifiant $n \leqslant x

Approximation(s) décimale(s) d’un réel ; densité de l’ensemble des nombres décimaux (a fortiori de l’ensemble des rationnels) dans IR.

4 - Droite numérique achevée

Terminé le 28 novembre 2016

Exercices

Suites de nombres réels

1 - Limite (éventuelle) d’une suite

Définition d’une suite convergente, d’une suite ayant une limite infinie, et premières propriétés : toute suite convergente est bornée, etc.

Unicité de la limite.

Suites extraites.

2 - Opérations sur les suites ayant une limite

3 - Deux théorèmes liés à l’ordre

Passage à la limite dans une inégalité large.

Théorème de convergence par encadrement (anciennement dit "des gendarmes"), de divergence par majoration/minoration...

4 - Convergence des suites monotones

Théorème de la limite monotone.

Suites adjacentes.

5 - Étude asymptotique de suites

Relations de comparaison de suites : définitions, propriétés, et exploitation pour lever des formes indéterminées.

Terminé le 7 décembre 2016

Exercices

Structures algébriques usuelles

Notion de loi de composition interne, propriétés et exemples.

Structures de groupe (de sous-groupe d’un groupe), d’anneau, de corps...

Terminé le 9 décembre 2016

Exercices

Polynômes

1 - Polynômes à coefficients dans K

Définition de l’ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, des opérations sur K[X] ; structure d’anneau commutatif.

Degré d’un polynôme ; intégrité de l’anneau (K[X],+,$\times$) ; éléments inversibles.

Application polynomiale associée à un polynôme.

2 - Division dans K[X]

Multiples et diviseurs d’un polynôme ; polynômes associés.

Division euclidienne.

3 - Racine d’un polynôme

Racine d’un polynôme : définition et caractérisation en termes de divisibilité.

Ordre de multiplicité d’une racine.

Racines et divisibilité : comparaison du nombre de racines d’un polynôme et de son degré ; injectivité de la correspondance "naturelle" entre K[X]et l’ensemble des applications polynomiales.

4 - Dérivation formelle sur K[X]

Polynôme dérivé ; dérivées successives.

Formule de Taylor ; caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine à l’aide des dérivées successives.

5 - Arithmétique dans K[X]

PGCD, PPCM de deux polynômes ; polynômes premiers entre eux ; polynômes irréductibles de K[X] (on retrouve, mutatis mutandis, les résultats vus en arithmétique des entiers).

Polynôme scindé dans K ; relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé.

Factorisation dans C[X] : théorème de d’Alembert-Gauss, factorisation d’un polynôme sous forme de produit de polynômes irréductibles.

Factorisation dans R[X] : utilisation des racines complexes, factorisation d’un polynôme sous forme de produit de polynômes irréductibles.

Terminé le 3 janvier 2017

Exercices

Fractions rationnelles

1 - Fraction rationnelles à coefficients dans K

Mise en place de la notion de fraction rationnelle ; écriture irréductible ; addition et multiplication ; degré ; racines/pôles ; fonction rationnelle associée

2 - Décomposition en éléments simples dans C

3 - Décomposition en éléments simples dans IR

4 - Quelques résultats remarquables

Explicitation de la partie polaire relative à un pôle simple : application à la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{X^n-1}$

Décomposition en éléments simples de $\frac{P’}{P}$, où $P$ est un polynôme scindé

5 - Applications de la décomposition en éléments simples

Calculs de sommes, de primitives de fonctions rationnelles.

Terminé le 6 janvier 2017

Exercices

Limite d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles

Adaptation de la notion de limite au contexte des fonctions, et remise en place des résultats "classiques"... notamment la caractérisation séquentielle de la limite, qui établit un lien fondamental entre limite d’une suite et limite d’une fonction.

Terminé le 11 janvier 2017

Exercices

Comparaison locale de fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles

Adaptation des notions de négligeabilité, de domination et d’équivalence au contexte des fonctions.

Terminé le 11 janvier 2017

Continuité d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles

1 - Notion de continuité

Continuité en un point : définition, opérations algébriques, composition.

Continuité sur un intervalle : adaptation des résultats précédents, restriction, prolongement par continuité.

2 - Théorème des valeurs intermédiaires

Cas particulier fondamental d’une fonction continue prenant deux valeurs de signes contraires, puis énoncé "classique".

Application : tout polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle.

Conséquence : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

3 - Image d’un segment par une fonction continue

Si une fonction est continue sur un segment, alors elle y est bornée et atteint ses bornes.

L’image d’un segment par une fonction continue est donc un segment.

4 - Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle

Théorème de la bijection : si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle établit une bijection de cet intervalle sur un intervalle image que l’on sait expliciter, et sa réciproque est strictement monotone, de même monotonie, et continue.

Terminé le 17 janvier 2017

Exercices