Cahier de texte de mathématiques

vendredi 9 septembre 2016, par Pierrick Soleillant

Un peu de formalisme mathématique

Utilisation des quantificateurs ; rapide aperçu de la notion d’implication...

Premiers éléments d’étude d’une fonction

AVANT-PROPOS

Manipulations d’inégalités

1 - Autour de la représentation d’une fonction

Symbolisme et représentation graphique

2 - Contexte de travail

On travaille avec des fonctions définies sur des intervalles non triviaux de IR.
On admet la notion de limite comme intuitive.
Quelques rappels autour de la continuité sont formulés...

3 - Bijectivité

Définition d’une fonction établissant une bijection d’un ensemble dans un autre ; définition de la réciproque d’une telle bijection.
En pratique : théorème de la bijection...

4 - Dérivation

Brefs rappels sur la notion de dérivabilité et de dérivée...
Dérivabilité et dérivation de la réciproque d’une fonction vérifiant les hypothèses du théorème de la bijection : illustration dans le cas de la fonction racine carrée.

5 - Branches infinies
Exemples d’études d’asymptotes verticales, horizontales et obliques...

6 - Au-delà de la seule étude des fonctions...
... l’étude d’une fonction peut servir à établir une inégalité

ANNEXE

Etude des fonctions usuelles rencontrées au lycée : puissances entières, racine carrée, logarithme népérien, exponentielle, fonctions circulaires

Terminé le 9 septembre 2016

Exercices

BONUS

Étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions circulaires

Manipulations de sommes et de produits

1 - Notations $\sum$ et $\prod$

Notation et réécritures (glissement d’indice, notamment).
Factorielle.

2 - Sommes et produits à connaître

Sommes et produits télescopiques

3 - Manipulations plus ou moins ordinaires de sommes et de produits

Utilisation de propriétés usuelles des opérations (associativité, commutativité, distributivité du produit par rapport à la somme) pour manipuler des sommes et des produits ; cas des sommes doubles...

4 - Coefficients binomiaux et binôme de Newton

Rappel de la définition d’un coefficient binomial ; énoncé (admis) de son explicitation à l’aide de factorielles ; propriétés (symétrie des coefficients binomiaux, formule de Pascal...).

Énoncé de la formule du binôme de Newton et exemples d’utilisations.

Terminé le 16 septembre 2016

Exercices

Nombres complexes

1 - Les nombres complexes

Rappels sur la notion de nombre complexe ; propriétés des opérations sur l’ensemble des nombres complexes ; conjugué d’un nombre complexe.

2 - Interprétation géométrique

Image d’un nombre complexe dans le plan ; affixe d’un point, d’un vecteur.

Module d’un nombre complexe ; propriétés (dont l’inégalité triangulaire)...

Nombres complexes de module 1 ; notation exponentielle ; formules d’Euler, de Moivre...

Argument d’un nombre complexe non nul

Écriture complexe de certaines transformations géométriques.

3 - Application des nombres complexes à la trigonométrie

Technique de la factorisation par l’exponentielle de l’angle moitié

Linéarisation et "dé"-linéarisation

Calculs de sommes de sinus/cosinus en progression arithmétique

4 - Racines n-ièmes d’un complexe

Préambule à propos de la racine n-ième d’un réel positif.

Racine(s) n-ième(s) d’un nombre complexe : définition et description explicite pour un complexe écrit sous forme exponentielle.

Cas particulier des racines n-ièmes de l’unité

Calcul des racines carrées d’un complexe écrit sous forme algébrique ; application à la résolution d’équations du second degré à coefficients complexes.

Terminé le 28 septembre 2016

Exercices

Nouvelles fonctions usuelles

1 - Puissances réelles

Définition de $x^m$, où $m$ est un réel et $x$ est un réel strictement positif.

Propriétés algébriques

Étude et représentation graphique

2 - Fonctions circulaires réciproques

Définition des fonctions arc-cosinus, arc-sinus et arc-tangente ; études et principales propriétés.

3 - Fonctions hyperboliques

Définition des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ; études et principales propriétés.

4 - Fonctions racines n-ièmes

Terminé le 5 octobre 2016

Exercices

Calcul de primitives

1 - Primitive(s) d’une fonction

Notion de primitive d’une fonction sur un intervalle ; deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante ; structure de l’ensemble des primitives d’une fonction.

Primitives "usuelles"

Quelques exemples de détermination pratique de primitives

2 - Lien entre intégrale et primitives d’une fonction continue

Brefs rappels concernant l’intégrale d’une fonction continue sur un segment

Existence de primitives pour les fonctions continues : théorème fondamental du calcul intégral.

3 - Quelques techniques de calcul intégral

Notion de fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle

Intégration par parties

Changement de variable

Terminé le 7 octobre 2016

Exercices

Équations différentielles linéaires

1 - Équations différentielles linéaires du premier ordre

Définition d’une équation différentielle linéaire du premier ordre, d’une équation homogène.

Structure de l’ensemble des solutions : la solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de cette équation.

  • Résolution de l’équation homogène
  • Détermination d’une solution particulière : principe de superposition, méthode de variation de la constante

Problème de Cauchy : existence et unicité de la solution

2 - Équations différentielles linéaires du deuxième ordre à coefficients constants

Adaptation des définitions précédentes à ce nouveau contexte.

La structure de l’ensemble des solution se présente de façon analogue : la solution générale d’une équation différentielle linéaire du deuxième ordre est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de cette équation.

(a) Solutions à valeurs complexes

  • Résolution de l’équation homogène (à l’aide de l’équation caractéristique)
  • Détermination d’une solution particulière dans le cas d’un second membre "exponentiel"

(b) Solutions à valeurs réelles

  • Résolution de l’équation homogène : on adapte ce qui a été vu dans le cas complexe, en creusant le cas où l’équation caractéristique admet deux solutions complexes non réelles...
  • Détermination d’une solution particulière dans le cas d’un second membre "exponentiel" ou circulaire

BONUS
Application à l'étude d'un système mécanique oscillant
Application à l'étude de différents circuits électriques

Terminé le 4 novembre 2016

Exercices

Ensembles et applications

1 - Ensembles

Appartenance ; inclusion ; ensemble $\mathscr P(E)$ des parties d’un ensemble $E$ ; union, intersection, complémentaire, différence ; produit cartésien de deux (ou $n$) ensembles.

2 - Applications

Application d’un ensemble dans un autre, ensemble d’arrivée, de départ, image d’un élément, antécédent(s) d’un élément, ensemble image d’une application, exemples de l’application identité et de l’indicatrice d’une partie ; restriction, prolongement(s) d’une application ; composition d’applications ; "associativité" de la composition.

Application injective, surjective, bijective ; composée d’injections (resp. surjections, resp. bijections) ; réciproque $f^{-1}$ d’une bijection $f : E \longrightarrow F$ (c’est une bijection !) ; relations $f \circ f^{-1}=\id_F$ et $f^{-1} \circ f=\id_E$ et "réciproque" de ce résultat (s’il existe une application $g : F \longrightarrow E$ vérifiant $f \circ g=\id_F$ et $g \circ f=\id_E$, $f$ est une bijection, dont la réciproque est $g$) ; réciproque d’une composée de bijections.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application ; exemples, notamment dans le cas d’une fonction $f : [a,b] \longrightarrow \R$ monotone et éventuellement continue.

Terminé le 9 novembre 2016

Exercices

Arithmétique des entiers

Première partie - avec les entiers naturels

Divisibilité et division euclidienne

Nombres premiers

Diviseurs communs (PGCD de deux entiers, calcul par les valuations $p$-adiques, par l’algorithme d’Euclide, relation de Bézout), multiples communs (... et PPCM...), nombres premiers entre eux (théorème de Bézout, lemme de Gauss)

Seconde partie - avec les entiers relatifs

Généralisation des notions vues précédemment au cas des entiers relatifs

Congruence modulo un entier...

Terminé le 22 novembre 2016

Exercices

Les nombres réels en analyse

1 - Quelques rappels

L’ensemble des nombres réels est un ensemble totalement ordonné muni, notamment, de deux opérations (l’addition et la multiplication) qui vérifient des propriétés "usuelles" et une mesure de distance définie par la valeur absolue.

2 - Majoration, minoration et bornes...

Partie majorée/minorée/bornée de IR ; plus grand/petit élément éventuel d’une telle partie ; borne supérieure/inférieure éventuelle d’une telle partie.

Propriété de la borne supérieure/de la borne inférieure.

L’importance de cette propriété est développée en annexe (notamment au travers de la caractérisation des convexe des IR)...

3 - Partie entière

Partie entière d’un réel $x$, définie comme le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel, ce qui revient à le désigner comme l’unique entier $n$ vérifiant $n \leqslant x

Approximation(s) décimale(s) d’un réel ; densité de l’ensemble des nombres décimaux (a fortiori de l’ensemble des rationnels) dans IR.

4 - Droite numérique achevée

Terminé le 28 novembre 2016

Exercices

Suites de nombres réels

1 - Limite (éventuelle) d’une suite

Définition d’une suite convergente, d’une suite ayant une limite infinie, et premières propriétés : toute suite convergente est bornée, etc.

Unicité de la limite.

Suites extraites.

2 - Opérations sur les suites ayant une limite

3 - Deux théorèmes liés à l’ordre

Passage à la limite dans une inégalité large.

Théorème de convergence par encadrement (anciennement dit "des gendarmes"), de divergence par majoration/minoration...

4 - Convergence des suites monotones

Théorème de la limite monotone.

Suites adjacentes.

5 - Étude asymptotique de suites

Relations de comparaison de suites : définitions, propriétés, et exploitation pour lever des formes indéterminées.

Terminé le 7 décembre 2016

Exercices

Structures algébriques usuelles

Notion de loi de composition interne, propriétés et exemples.

Structures de groupe (de sous-groupe d’un groupe), d’anneau, de corps...

Terminé le 9 décembre 2016

Exercices

Polynômes

1 - Polynômes à coefficients dans K

Définition de l’ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, des opérations sur K[X] ; structure d’anneau commutatif.

Degré d’un polynôme ; intégrité de l’anneau (K[X],+,$\times$) ; éléments inversibles.

Application polynomiale associée à un polynôme.

2 - Division dans K[X]

Multiples et diviseurs d’un polynôme ; polynômes associés.

Division euclidienne.

3 - Racine d’un polynôme

Racine d’un polynôme : définition et caractérisation en termes de divisibilité.

Ordre de multiplicité d’une racine.

Racines et divisibilité : comparaison du nombre de racines d’un polynôme et de son degré ; injectivité de la correspondance "naturelle" entre K[X]et l’ensemble des applications polynomiales.

4 - Dérivation formelle sur K[X]

Polynôme dérivé ; dérivées successives.

Formule de Taylor ; caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine à l’aide des dérivées successives.

5 - Arithmétique dans K[X]

PGCD, PPCM de deux polynômes ; polynômes premiers entre eux ; polynômes irréductibles de K[X] (on retrouve, mutatis mutandis, les résultats vus en arithmétique des entiers).

Polynôme scindé dans K ; relations entre coefficients et racines d’un polynôme scindé.

Factorisation dans C[X] : théorème de d’Alembert-Gauss, factorisation d’un polynôme sous forme de produit de polynômes irréductibles.

Factorisation dans R[X] : utilisation des racines complexes, factorisation d’un polynôme sous forme de produit de polynômes irréductibles.

Terminé le 3 janvier 2017

Exercices

Fractions rationnelles

1 - Fraction rationnelles à coefficients dans K

Mise en place de la notion de fraction rationnelle ; écriture irréductible ; addition et multiplication ; degré ; racines/pôles ; fonction rationnelle associée

2 - Décomposition en éléments simples dans C

3 - Décomposition en éléments simples dans IR

4 - Quelques résultats remarquables

Explicitation de la partie polaire relative à un pôle simple : application à la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{X^n-1}$

Décomposition en éléments simples de $\frac{P’}{P}$, où $P$ est un polynôme scindé

5 - Applications de la décomposition en éléments simples

Calculs de sommes, de primitives de fonctions rationnelles.

Terminé le 6 janvier 2017

Exercices

Limite d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles

Adaptation de la notion de limite au contexte des fonctions, et remise en place des résultats "classiques"... notamment la caractérisation séquentielle de la limite, qui établit un lien fondamental entre limite d’une suite et limite d’une fonction.

Terminé le 11 janvier 2017

Exercices

Comparaison locale de fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles

Adaptation des notions de négligeabilité, de domination et d’équivalence au contexte des fonctions.

Terminé le 11 janvier 2017

Continuité d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles

1 - Notion de continuité

Continuité en un point : définition, opérations algébriques, composition.

Continuité sur un intervalle : adaptation des résultats précédents, restriction, prolongement par continuité.

2 - Théorème des valeurs intermédiaires

Cas particulier fondamental d’une fonction continue prenant deux valeurs de signes contraires, puis énoncé "classique".

Application : tout polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle.

Conséquence : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

3 - Image d’un segment par une fonction continue

Si une fonction est continue sur un segment, alors elle y est bornée et atteint ses bornes.

L’image d’un segment par une fonction continue est donc un segment.

4 - Fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle

Théorème de la bijection : si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle établit une bijection de cet intervalle sur un intervalle image que l’on sait expliciter, et sa réciproque est strictement monotone, de même monotonie, et continue.

Terminé le 17 janvier 2017

Exercices

Dérivation d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles

1 - Dérivabilité - fonction dérivée

Dérivabilité en un point : définition, interprétations graphique et cinématique, opérations algébriques, composition, dérivabilité de la réciproque d’une fonction dérivable strictement monotone.

Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée.

2 - Dérivée et extremum

Si une fonction dérivable admet un extremum en un point intérieur à son domaine de définition, alors sa dérivée s’annule en ce point.

3 - Les accroissements finis

Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.

Applications : variations d’une fonction dérivable, limite de la dérivée.

4 - Dérivées successives

Terminé le 24 janvier 2017

Exercices

Développements limités

1 - Développement limité d’une fonction en un point

Fonction ayant un développement limité à l’ordre $n$ en un point.

Caractérisation de la continuité et de la dérivabilité.

Troncature d’un développement limité.

Unicité d’un développement limité

Existence d’un développement limité : formule de Taylor-Young, puis utilisation de cette formule pour déterminer les développements limités "usuels"

2 - Détermination pratique de développements limités

Développement limité d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée de fonctions ayant un développement limité...

Développement limité d’une primitive d’une fonction ayant un développement limité : cas de l’arc-tangente au voisinage de 0.

3 - Applications des développements limités

Calculs de limites ; détermination d’quivalents

Représentation graphique d’une fonction (tangente en un point, branche infinie...)

Terminé le 31 janvier 2017

Exercices

Résolution de systèmes d’équations linéaires

Il s’agit de présenter et mettre en oeuvre la méthode de résolution d’un système d’équations linéaires par le pivot de Gauss : on échelonne ainsi un système, à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes...

Le cas particulier des systèmes de Cramer est étudié...

Terminé le 1er février 2017

Exercices

Espaces vectoriels

1 - Structure d’espace vectoriel

Définition, exemples et premières "règles de calcul"

2 - Notion de sous-espace vectoriel

Définition et caractérisation d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel donné.

Exemples dans des espaces vectoriels "de référence"

Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs

3 - Intersection et somme de sous-espaces vectoriels

L’intersection de deux (ou plus) sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel donné en est un sous-espace vectoriel

Il n’en va pas de même pour l’union : la somme permet de "pallier" ce problème...

Sous-espaces vectoriels en somme directe

4 - Familles de vecteurs

Famille (finie) génératrice d’un espace vectoriel

Famille (finie) libre/liée

Base (finie) d’un espace vectoriel ; notion de coordonnées d’un vecteur dans une base

Terminé le 8 février 2017

Exercices

Applications linéaires

1 - Application linéaire entre espaces vectoriels

Définition et exemples d’applications linéaires entre espaces vectoriels sur le même corps $\K$

2 - Noyau et image d’une application linéaire

Définition du noyau d’une application linéaire : c’est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ, qui permet de caractériser l’injectivité de l’application considérée

Etude de l’image d’une application linéaire : c’est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée, qui permet de caractériser la surjectivité de l’application considérée

Obtention d’une famille génératrice de l’espace image en prenant les images des vecteurs d’une famille génératrice de l’espace de départ ; cas des isomorphismes

Image et image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application liéaire.

3 - Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base

4 - Opérations sur les applications linéaires

Définition d’une addition et d’un produit externe sur l’ensemble des applications définies sur un $\K$-espace vectoriel à valeurs dans un $\K$-espace vectoriel.

Toute combinaison linéaire d’applications linéaires est une application linéaire.

La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Cas des endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ : l’anneau $\mathscr L(E)$.

Composées d’isomorphismes, réciproque d’un isomorphisme, cas des automorphismes d’un espace vectoriel (groupe linéaire).

5 - Quelques endomorphismes remarquables

Homothéties, projections et symétries...

Exercices

Dénombrement

1 - Opérations sur les ensembles finis

Union d’ensembles finis (disjoints ou pas) ; produits cartésiens d’ensembles finis

2 - Dénombrement de listes

Nombre de listes, nombre d’applications d’un ensemble fini dans un autre.

Listes sans répétition ; nombre d’injections, de permutations

3 - Dénombrement de parties d’un ensemble

4 - Propriétés des coefficients binomiaux

Exercices

Intégration sur un segment - compléments de calcul intégral

1 - Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

Construction de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à l’aide de fonctions en escalier...

Propriétés de l’intégrale (linéarité, positivité, inégalité triangulaire, relation de Chasles, positivité "améliorée" dans le cas des fonctions continues)

Sommes de Riemann

2 - Compléments de calcul intégral

Théorème fondamental du calcul intégral, et applications aux calculs de primitives (avec rappel de quelques "recettes"), à l’intégration de développements limités, et aux différentes formules de Taylor

Terminé le 15 mars 2017

Exercices

Séries numériques

1 - Convergence d’une série numérique

Mise en place du vocabulaire des séries numériques, et des premiers résultats de convergence. En particulier, si une série converge, alors son terme général converge vers 0 (la réciproque est fausse).

2 - Séries de référence

Séries géométriques et séries de Riemann : définition et caractérisation de la convergence.

3 - Séries à termes positifs

Critères de comparaison de séries à termes positifs, à l’aide de l’ordre, de la négligeabilité ou d’un équivalent

4 - Éléments d’étude des "autres" séries

Les séries à termes négatifs se ramènent facilement aux outils d’étude du paragraphe précédent.

Pour les autres, on dispose d’une condition suffisante (mais pas nécessaire) de convergence : l’absolue convergence.

Terminé le 21 mars 2017

Exercices

Espaces probabilisés finis

1 - Modélisation de situations aléatoires

Cadre de travail et vocabulaire associés à l’étude d’une expérience aléatoire : univers des possibles, événement (à considérer comme une partie de l’univers), système complet d’événements...

2 - Probabilité sur un ensemble fini

Définition d’une probabilité sur un univers fini

Détermination d’une probabilité à partir des probabilités des événements élémentaires ; exemple de la probabilité uniforme

Propriétés...

3 - Probabilités conditionnelles

Mise en place et définition d’une probabilité conditionnelle

Formules des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes

4 - Indépendance

Terminé le 24 mars 2017

Exercices

Espaces vectoriels de dimension finie

1 - Dimension d’un espace vectoriel

Un espace vectoriel de dimension finie est un espace vectoriel qui possède une famille finie génératrice.

Si un tel espace n’est pas réduit au seul vecteur nul, il possède au moins une base (qui peut être obtenu en prélevant des vecteurs d’une famille génératrice, ou en adjoignant des vecteurs à une famille libre), et toutes ses bases ont le même nombre de vecteurs : ce nombre est appelé dimension de l’espace vectoriel.

Dans un espace vectoriel de dimension finie n (entier naturel non nul), une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre ou génératrice de cet espace.

Rang d’une famille finie de vecteurs.

2 - Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie

Un sous-espace vectoriel d’un espace E de dimension finie n est également de dimension finie,
sa dimension est inférieure ou égale à n, et si sa dimension vaut n, alors c’est E.

Existence d’un supplémentaire en dimension finie ; dimension d’une somme directe de sous-espaces vectoriels ; dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels (formule de Grassmann).

3 - Applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie

Espaces isomorphes ; dans le cas où l’un des deux espaces est de dimension finie, l’autre est alors de même dimension.

Théorème du rang. Application à la caractérisation d’isomorphismes en dimension finie.

Rang d’une application linéaire ; invariance du rang par composition avec un isomorphisme.

Application

Explicitation du terme général d’une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire d’ordre 2.

Bonus track

Hyperplan d’un espace vectoriel : définition en tant que noyau d’une forme linéaire non nulle, et propriétés, notamment dans le cas d’un espace vectoriel de dimension finie.

Terminé le 31 mars 2017

Exercices

Matrices

PREMIÈRE PARTIE : MISE EN PLACE ET CALCUL MATRICIEL

1 - Mise en place de la notion de matrice

Terme général, matrices particulières (lignes, colonnes, carrées, identité, nulle), transposition...

2 - Opérations sur les matrices

Addition et produit externe ; structure d’espace vectoriel.

Produit matriciel.

3 - Le cas des matrices carrées

Quelques matrices carrées particulières (diagonales, triangulaires, symétriques, anti-symétriques)

Structure d’anneau (en général non commutatif)

Matrices inversibles

DEUXIÈME PARTIE : REPRÉSENTATION DE VECTEURS ET D’APPLICATIONS LINÉAIRES

1 - Représentation matricielle de vecteurs et d’applications linéaires

Linéarité de la correspondance "naturelle" entre vecteurs d’un espace de dimension finie (dont on fixe une base de représentation) et matrices colonnes : cette correspondance est un isomorphisme. Il en va de même de la correspondance entre applications linéaires et matrices "de taille adaptée". Application linéaire canoniquement représentée par une matrice.

Écriture matricielle de l’effet d’une application linéaire sur un vecteur ; de la composition de deux applications linéaires.

2 - Représentation d’endomorphismes

La représentation d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie se fait généralement en choisissant la même base au départ et à l’arrivée.

Lien entre isomorphismes et matrices inversibles.

Calcul de l’inverse d’une matrice inversible à l’aide d’un système d’équations linéaires associé à ladite matrice...

3 - Changement de base

Matrice de changement de base ; formules de changement de base.

4 - Rang d’une matrice, et plus si affinités...

Définition du rang d’une matrice ; calcul du rang d’une matrice, à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (c’est l’occasion de mettre en place la notion de matrices équivalentes) ; application au calcul du rang d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire ; classification des matrices équivalentes par le rang ; inversion d’une matrice inversible...

5 - Matrices carrées semblables et trace

Matrices carrées semblables - lien avec la représentation d’endomorphisme

Trace d’une matrice carrée ; trace d’un endomorphisme

Exercices

Terminé le 2 mai 2017

Déterminants

AVANT-PROPOS : à propos du groupe symétrique

Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints ; en produit de transpositions.

Signature d’une permutation...

1 - Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base

Formes n-linéaires ; anti-symétrie ; caractère alterné ; équivalence de ces deux propriétés ; explicitation de l’image d’un n-uple de vecteurs par une forme n-linéaire alternée à l’aide des coordonnées des vecteurs dans une base fixée ; définition du déterminant d’une famille de vecteurs dans une base.

Propriétés du déterminant : caractérisation des bases ; orientation d’un IR-espace vectoriel de dimension finie.

2 - Déterminant d’un endomorphisme

Définition ; application à la caractérisation d’un automorphisme ; déterminant d’une composée.

3 - Déterminant d’une matrice carrée

Définition ; application à la caractérisation de l’inversibilité ; déterminant d’un produit.

4 - Calcul des déterminants

Effet des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes sur la valeur d’un déterminant.

Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne ; application, notamment, au calcul d’un déterminant de Vandermonde, au calcul du déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.

Comatrice d’une matrice carrée ; application à l’expression de l’inverse d’une matrice inversible.

Exercices

Terminé le 10 mai 2017