Lois de Descartes

Optique ondulatoire

mardi 6 décembre 2011

{{{Lois de Descartes}}} Approche ondulatoire avec le modèle du diélectrique On considère ici l'interface entre deux diélectriques d'indices respectifs $n_1$ et $n_2$. On rappelle qu'il n'existe à l'interface de deux diélectriques aucune densité surfacique de charge ou de courants. Ainsi: $\left| \begin{array}{ll}\vec{j_s}=0\\\sigma=0\end{array}\right. $ Les relations de passage imposent donc la continuité du champ électrique et du champ magnétique à l'interface. On va raisonner ici sur la continuité de la vibration scalaire associée à l'onde, afin de ne pas préciser les polarisations On définit alors trois ondes dans le modèle des O.P.P.H: -Onde incidente $\underline{s_i}=s_i.e^{i.(\omega t-\vec{k_i}\cdot\vec{OM})}$ -Onde reflechie $\underline{s_r}=s_r.e^{i.(\omega t-\vec{k_r}\cdot\vec{OM})}$ -Onde transmise $\underline{s_t}=s_t.e^{i.(\omega t-\vec{k_t}\cdot\vec{OM})}$ Les relations de passage nous donnent donc

$$s_i.e^{i(\omega_i t-\vec{k_i}.\vec{OM})}+s_r.e^{i(\omega_r t-\vec{k_r}.\vec{OM})}=s_t.e^{i(\omega_t t-\vec{k_t}.\vec{OM})} \hspace{1cm}\forall t,\forall M \in \textit{interface}$$

En arrangeant l'expression, on en déduit donc que:

$$s_i+s_r.e^{i(\vec{k_r}-\vec{k_i}).\vec{OM}}=s_t.e^{i(\vec{k_t}-\vec{k_i}).\vec{OM}} \hspace{1cm}\forall t,\forall M \in \textit{interface}$$

Afin que cette condition soit vérifiée en tout point $M$ de l'interface, il est nécessaire que $\left|\begin{array}{ll} (\vec{k_r}-\vec{k_i})\cdot\vec{OM}=C^{te}\\ (\vec{k_t}-\vec{k_i})\cdot\vec{OM}=C^{te} \end{array}\right. $, donc pour deux points $M_1$ et $M_2$ de l'interface: $\left|\begin{array}{ll} (\vec{k_r}-\vec{k_i})\cdot\vec{M_1M_2}=0\\ (\vec{k_t}-\vec{k_i})\cdot\vec{M_1M_2}=0 \end{array}\right. $ La première conclusion est que les vecteurs $(\vec{k_r}-\vec{k_i})$ et $(\vec{k_t}-\vec{k_i})$ sont colinéaires à la normale à l'interface. {{$1^{ere}$ loi de Descartes: les rayons réfléchi et réfracté se trouvent dans le plan d'incidence.}} Ensuite, on peut projeter ces vecteur dans la base cartésienne, en prenant deux points $M_1$ et $M_2$ dans le plan d'incidence (et sur l'interface), on obtient: $\frac{n_1.\omega}{c}.\left( -sinr-sini_1\right) .M_1M_2=0$ et $\left( \frac{n_2.\omega}{c}.sini_2-\frac{n_1.\omega}{c}.sini_1\right) .M_1M_2=0$. On retrouve bien les deux lois de Descartes: {{$2^{ieme}$ loi de Descartes:

$$sinr=-sini_1$$

}} {{$3^{ieme}$ loi de Descartes:

$$n_1.sini_1=n_2.sini_2$$

}}