Cahier de Texte

jeudi 24 novembre 2016, par Gil Noiret

Dans cette rubrique, vous pouvez trouver un résumé de ce qui a été traité en mathématiques, regroupé par semaine, ainsi que les programmes de colles successifs que l’on pourra trouver à la fin de chaque semaine du cahier de texte.
Ces programmes sont également disponibles sur la page d’accueil de la section PSI.

Semaine du 01-09-2016 au 09-09-2016

- Prise de contact.

- Cours (Chapitre 01 : Révisions d’analyse) : ce chapitre est revu à l’occasion d’exercices.
Limites des fonctions réelles ou complexes de variable réelle : définitions générales, continuité des fonctions réelles ou complexes de variable réelle (théorèmes généraux).
Dérivabilité des fonctions réelles ou complexes de variable réelle (théorèmes généraux, fonctions de classe Cn).
Fonctions négligeables et équivalentes, développements limités (obtention théorique et pratique, exemples classiques).
Suites de réels ou de complexes (définitions générales), suites de réels (théorèmes classiques), suites de complexes (liens avec les suites réelles), suites récurrentes de type : un+1 = f(un), et fonctions itératrices (résultats et théorèmes généraux).

- Cours (Chapitre 02 : Séries numériques) :
Rappel des résultats de sup,
Séries alternées et critère spécial des séries alternées, utilisation d’un développement limité, critère de d’Alembert et exemple de la série exponentielle complexe,

- Exercices : nos 1, 4a, 4b, 4d, 5a, 6, 7 (chap. 2).

- Pour le jeudi 08-09-2016 : Devoir en Temps Libre n°01 (versions 1 et 2).

Semaine du 12-09-2016 au 16-09-2016

- Cours (Chapitre 02 : Séries numériques) :
Compléments : produit de Cauchy et convergence dans le cas de séries absolument convergentes, développement asymptotique de Hn.

- Cours (Chapitre 03 : intégration) :
Révision rapide des notions vues en sup sur l’intégrale d’une fonction continue sur un segment, et brève extension de ces notions aux fonctions continues par morceaux sur un segment.
Intégrale généralisée en sa borne supérieure : définition d’une intégrale convergente à l’aide d’une primitive, divergente, indépendance vis à vis du choix de la primitive, de la borne "sans problème", exemple des intégrales de Riemann.

- Exercices : nos 8, 10, 16, 17 (chap 2), 1.a, 1.c, 1.e, 2.b, 3, 4, 8 (chap 3).

Semaine du 19-09-2016 au 23-09-2016

- Cours (Chapitre 03 : intégration) :
Intégrabilité des fonctions à valeurs complexes.
Premières propriétés : linéarité, changement de variable, intégration par parties.
Cas des fonctions réelles positives : utilisation d’une fonction équivalente, d’une fonction majorante.
Intégrale absolument convergente et fonction intégrable sur un intervalle : définition, intégrale semi-convergente, l’absolue convergence entraîne la convergence d’une intégrale, exemple de l’intégrale de Dirichlet, critères d’intégrabilité (combinaisons linéaires, relation de Chasles, positivité et cas de nullité).

- Exercices : nos 7, 9, 14.a, 15 (chap 3).

- Lundi 19-09-2016 : Devoir Surveillé n°01

- Pour le 29-09-2016 : Devoir en Temps Libre n°02

Semaine du 26-09-2016 au 30-09-2016

- Cours (Chapitre 03 : intégration) :
Intégrabilité des fonctions à valeurs complexes.
Critères d’intégrabilité : utilisation de comparaisons, d’équivalents, de "petits o", de "grands O", de fonctions puissances.
Comparaisons séries intégrales : cas d’une fonction positive, décroissante sur [a,+$\infty$), exemple d’adaptation de la démonstration pour l’obtention d’équivalents de sommes partielles de séries divergentes.

- Cours (Chapitre 04 : algèbre linéaire) :
Révisions de sup : notion d’espace vectoriel, de sous-espace vectoriel, de famille libre, génératrice, de base d’un espace vectoriel.
Sommes et sommes directes de deux et de plusieurs sous-espaces vectoriels, cas de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un espace vectoriel.

- Exercices : nos 20, 21, 35b (chap 3), 3, 9 (chap 4).

- Pour le 06-10-2016 : Devoir en Temps Libre n°03

Semaine du 03-10-2016 au 07-10-2016

- Cours (Chapitre 04 : algèbre linéaire) :
Caractérisations diverses de décomposition d’espace en somme directe, bases adaptées.
Rappels sur les applications linéaires entre espaces vectoriels (image et noyau), projecteurs associés à deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, à une décomposition d’espace en somme directe.
Rappels sur les matrices, comme tableaux de nombres (aspect structurel) ou comme représentatives de vecteurs, d’applications linéaires, de changements de bases dans des espaces vectoriels de dimension finie. Trace d’une matrice carrée, d’un endomorphisme en dimension finie, d’un projecteur en dimension finie.
Dual d’un espace vectoriel, formes linéaires, hyperplans en dimension finie, équations d’un hyperplan en dimension finie.

- Exercices : nos 10, 12, 15, 17, 18 (chap 4).

Semaine du 10-10-2016 au 14-10-2016

- Cours (Chapitre 04 : algèbre linéaire) :
Déterminants : rappels des propriétés pratiques (et rappel de quelques propriétés théoriques).

- Cours (Chapitre 05 : compléments de calcul intégral) :
Théorème de convergence dominée : cas des suites de fonctions et adaptation dans le cas des séries (théorème d’interversion série-intégrale).
Fonctions définies comme intégrales à paramètre : définition et domaine de définition d’une telle fonction.

- Exercices : nos 22, 25, 26, 30, 32 (chap 4), 1c, 4, 6 (chap. 5)

- Le 10-10-2016 : Devoir en Surveillé n°02

- Pour le 03-11-2016 : Devoir en Temps Libre n°04 (versions 1 et 2)

Semaines du 17-10-2016 au 19-10-2016 et du 03-11-2016 au 04-11-2016

- Cours (Chapitre 05 : compléments de calcul intégral) :
Fonctions définies comme intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité d’une telle fonction, caractère C1, Ck, C$\infty$ à l’aide d’une fonction majorante ou majorante sur tout segment, obtention d’une limite en un point à l’aide du théorème de convergence dominée.

- Cours (Chapitre 06 : espaces probabilisés) :
Ensembles finis, dénombrables, exemples de Z et de N2, réunion de deux ensembles dénombrables.

- Exercices : nos 8, 9, 10, 25 (chap. 5), 3 (chap 6.)

- Pour le 10-11-2016 : Devoir en Temps Libre n°05

Semaine du 07-11-2016 au 10-11-2016

- Cours (Chapitre 06 : espaces probabilisés) :
Tribu, probabilité sur un ensemble infini, propriétés élémentaires d’une tribu, probabilité croissante et décroissante, probabilité d’une réunion d’événements, existence admise d’une probabilité sur un ensemble dénombrable par la donnée des probabilités atomiques.
Probabilité conditionnelle, formule de probabilités composées, indépendance et indépendance mutuelle d’événements. Système complet d’événements, formules des probabilités totales, événement presque sûr, événement négligeable, système quasi-complet d’événements, formule de Bayes.

- Exercices : nos 8, 9, 11, 12, 21, 22 (chap. 6)

Semaine du 14-11-2016 au 18-11-2016

- Cours (Chapitre 07 : réduction d’endomorphismes) :
Matrices et déterminants : exposé rapide des règles de calculs pour les matrices et déterminant d’une matrice diagonale ou triangulaire par blocs.
Valeur et vecteur propre d’un endomorphisme, spectre, sous-espaces propres, propriété de somme directe pour les sous-espaces propres, liberté d’une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes.
Polynôme caractéristique en dimension finie : définition, lien avec les valeurs propres, expression des termes classiques de ce polynôme, somme et produit de ses racines.
Eléments propres d’une matrice carrée et lien avec les éléments propres de l’endomorphisme canoniquement associé. Spectres de matrices semblables.

- Exercices : nos 24, 35 (chap. 6), 1, 2 (chap. 7)

- Le 14-11-2016 : Devoir en Surveillé n°03

- Pour le 01-12-2016 : Devoir en Temps Libre n°06

Semaine du 21-11-2016 au 25-11-2016

- Cours (Chapitre 07 : réduction d’endomorphismes) :
Endomorphisme diagonalisable : définition et caractérisations diverses. Cas d’un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes, admettant une valeur propre d’ordre n, lien entre multiplicité d’une valeur propre et dimension de l’espace propre associé. Matrice diagonalisable et lien avec les endomorphismes.
Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et matrice trigonalisable : définition et caractérisation (admise). Eléments diagonaux d’une matrice triangulaire semblable à une matrice donnée.
Sous-espaces stables par un endomorphisme : définition, exemples géométriques.

- Exercices : nos 6, 7, 8, 9 (chap. 7)

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